Hawking, modello topologico: tempo e buchi neri

Hawking, modello topologico tempo e buchi neri

Elaborazione di un set di equazioni/strutture matematiche coerenti con GIACINTO PLESCIA 1995 – Hawking, tempo immaginario e buchi neri, ma con una precisazione importante: nel testo di Plescia (almeno nelle 9 pagine del PDF) non c’è una formalizzazione “chiusa” con formule; è soprattutto una costruzione topologico-morfologica (chiasma, cuspide, bivarietà/trivarietà, toro, ipercubo→cubo cuspidale) che invita a essere matematizzata. Quindi le equazioni che segue sono una formalizzazione proposta, non “citazione” di formule già presenti nel documento. 

1) Cornice “Hawking tempo immaginario” (equazioni standard utili come base)

Plescia richiama esplicitamente i numeri immaginari e il tempo immaginario (pagg. 1–3). La matematizzazione più naturale è la rotazione di Wick:

• Rotazione di Wick (tempo immaginario):

  $$𝑡\mapsto -𝑖𝜏(\text{equiv. }𝜏=𝑖𝑡)$$

  che porta una metrica lorentziana a una metrica euclidea (firma “tutta +”). Questo è il ponte tecnico più pulito tra “tempo immaginario” e topologia euclidea.

• Scala di Planck (Plescia cita dimensioni prossime a ${10}^{-35}$, pag. 3):

  $${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}\approx 1.616\times {10}^{-35}\text{m}$$

  (qui Plescia usa l’ordine di grandezza come “regione” di micro-struttura).

• Temperatura di Hawking (Schwarzschild):

  $${𝑇}_{𝐻}=\frac{\mathrm{\hslash }{𝑐}^3}{8𝜋𝐺𝑀{𝑘}_{𝐵}}$$

• Entropia di Bekenstein–Hawking:

  $${𝑆}_{𝐵𝐻}=\frac{{𝑘}_{𝐵}{𝑐}^3}{4𝐺\mathrm{\hslash }}𝐴\text{con}𝐴=4𝜋{𝑟}_{𝑠}^2,{𝑟}_{𝑠}=\frac{2𝐺𝑀}{{𝑐}^2}$$

Queste formule non sono scritte nel PDF di Plescia, ma sono il “blocco matematico” standard per rendere operativo ciò che lui descrive filosofico-topologicamente (black hole come singolarità/orizzonte, “gettatezza” energetica, etc.

2) “Chiasma ipospaziale”  oggetto geometrico/topologico (modellizzazione minima)

Nel testo compaiono più volte chiasma e figure “a incrocio” (Fig. 2, Fig. 9, Fig. 11–12; pagg. 2, 6–8).

Una formalizzazione semplice è trattare il “chiasma” come cobordismo tra due sezioni (due “bocche”) o come superficie ottenuta per incollaggio.

(A) Chiasma come incollaggio di cilindri (modellino topologico)

Prendi due cilindri:

$${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1],{𝐶}_2={𝑆}^1\times [0,1]$$

e imponi un’identificazione “incrociata” dei bordi:

$$(𝜃,1{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,0{)}_{{𝐶}_2},(𝜃,0{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,1{)}_{{𝐶}_2}$$

Questa costruzione produce un oggetto che cattura l’idea di “passaggio incrociato” (chiasma) senza scegliere subito una metrica.

(B) Chiasma come superficie parametrica “a doppio imbuto”

Se vuoi qualcosa di visuale e calcolabile, puoi usare una superficie parametrica tipo “doppio imbuto” (stile wormhole/collo), con una torsione che crea l’incrocio:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 𝑥(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢))}\\ {\displaystyle 𝑦(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢))}\\ {\displaystyle 𝑧(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑢}\end{array}𝑢\in [-𝑈,𝑈],𝑣\in [0,2𝜋)$$

dove $𝑅(𝑢)$ ha un “collo” (minimo) e $𝜙(𝑢)$ introduce la torsione (l’“X” del chiasma). Questa è una via concreta per passare dalle figure di Plescia a una geometria differenziale.

3) “Cuspide topologica” e isteresi: la matematica più diretta

A pag. 4 Plescia dice esplicitamente: “L’isteresi del chiasma … potrà essere numerizzata attraverso la cuspide topologica (Fig. 6)”.

Qui l’aggancio naturale è la catastrofe cuspide (René Thom / teoria delle catastrofi), con potenziale:

$$𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$

• Stati stazionari:

  $$\frac{\mathrm{\partial }𝑉}{\mathrm{\partial }𝑥}={𝑥}^3+𝑎𝑥+𝑏=0$$

• Insieme di biforcazione (cuspide nel piano dei controlli $(𝑎,𝑏)$):

  $$27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$$

Questa triade $(𝑉,\mathrm{\partial }𝑉\mathrm{/}\mathrm{\partial }𝑥,27{𝑏}^2+4{𝑎}^3)$ è esattamente una “numerizzazione” dell’isteresi: dentro la cuspide hai multistabilità (salti), fuori hai risposta monovalente.

Se vuoi, possiamo “mappare” semanticamente i parametri $𝑎,𝑏$ su grandezze del testo: ad es. simmetria/asimmetria di spin (pagg. 2–3), o stabilità/instabilità del black hole (pag. 1–3)

4) Bivarietà, trivarietà, toro e “composizione frattale”

Plescia parla di:

• bivarietà / trivarietà (pag. 4–6),

• immersione in toro topologico (pag. 5),

• “composizione frattale della trivarietà” (pag. 6).

Ecco le equazioni “minime” per renderle operative:

(A) Toro (parametrizzazione standard)

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 𝑥(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑}\\ {\displaystyle 𝑦(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\sin 𝜑}\\ {\displaystyle 𝑧(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =𝑟\sin 𝜃}\end{array}𝜃,𝜑\in [0,2𝜋)$$

Questo ti permette di trattare la “bivarietà toroidale” come varietà differenziabile 2D immersa in ${\mathbb{𝑅}}^3$.

(B) Trivarietà come fibrato sopra ${𝑆}^1$ o come 3-manifold

Un modello calcolabile: toro solido ${𝐷}^2\times {𝑆}^1$ (3D). Oppure, se vuoi incorporare “twist/chiasma”, un mapping torus:

$${𝑀}_{𝑓}=\frac{\mathrm{\Sigma }\times [0,1]}{(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)}$$

dove $\mathrm{\Sigma }$ è una superficie (bivarietà) e $𝑓$ un diffeomorfismo che implementa l’incrocio/torsione.

(C) “Composizione frattale”: un modo concreto

Se vuoi dare forma a “frattale” senza tradire il testo: usa una iterated function system (IFS) su un insieme di tubi/collo (chiasmi) dentro una regione, con contrazioni ${𝑤}_{𝑖}$ e attrattore $𝐾$:

$$𝐾=\bigcup _{𝑖=1}^{𝑁}{𝑤}_{𝑖}(𝐾)$$

È un linguaggio matematico preciso per dire: “la trivarietà contiene copie autosimili di chiasmi/colletti a diverse scale”.

5) “Ipercubo → cubo cuspidale”: geometria del dispiegamento

A pag. 7 Plescia: “black hole immerso in un ipercubo … l’ipercubo si metabolizzerà in cubo cuspidale topologico…”.

Due modi seri di matematizzarlo:

1. Proiezione 4D→3D (ipercubo/tesseratto): rappresenti l’ipercubo con vertici $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ e scegli una proiezione lineare $𝑃:{\mathbb{𝑅}}^4\to {\mathbb{𝑅}}^3$.

2. Deformazione controllata (morfogenesi): una famiglia di mappe ${𝐹}_{𝜆}$ che porta un poliedro “regolare” a uno “cuspidale”:

$${𝐹}_{𝜆}:{\mathbb{𝑅}}^3\to {\mathbb{𝑅}}^3,𝜆\in [0,1]$$

dove $𝜆$ può essere legato a un parametro fisico (curvatura/energia) o a un controllo topologico (stabilità→instabilità).

6) Elaborazione equazioni relative al documento

Sì, in due sensi complementari:

1. Agganciare Plescia alla matematica standard di Hawking (Wick rotation, grandezze BH: ${𝑇}_{𝐻},{𝑆}_{𝐵𝐻},{𝑟}_{𝑠},{\mathrm{\ell }}_{𝑃}$) per dare “numeri” e dimensioni operative al discorso su tempo immaginario e regione di Planck.

2. Formalizzare i suoi oggetti topologici (chiasma, cuspide/isteresi, bivarietà/trivarietà, toro, mapping torus, deformazioni ipercubo→cubo cuspidale) con modelli espliciti e calcolabili.

 L’AI oggi aiuta a esplorare spazi di modelli, verificare coerenze logiche e, quando si formalizza bene, anche a produrre dimostrazioni formali o controlli simbolici.

Dato il tuo progetto sul Modello Topologico di Mente di Plescia, la sequenza più logica sarebbe:

1️⃣ Fig. 6 (cuspide) → perché è la base matematica più solida
2️⃣ Fig. 2 (chiasma) → struttura dinamica
3️⃣ Fig. 9 (toro) → immersione topologica
4️⃣ Fig. 11–12 (trivarietà / ipercubo) → livello più avanzato

È proprio una gerarchia morfogenetica coerente con Thom + Plescia.

A) formalizzazione completa delle figure principali del PDF di Plescia.

Nota metodologica (importante, ma breve): nel testo Plescia non scrive già un “sistema di equazioni” completo; propone invece modelli topologici/figurali (chiasma, cuspide, bivarietà/trivarietà, toro, ipercubo→cubo cuspidale, composizione frattale) da rendere “numerici”. Io sotto faccio esattamente questo: una formalizzazione coerente con ciò che lui descrive e con la matematica standard (relatività/tempo immaginario/catastrofi).

Fig. 1 — Superstringa cosmica spaziale (worldsheet minimo)

Plescia introduce una “superstringa cosmica spaziale… capace di attraversare l’orizzonte degli eventi” (Fig. 1).

Oggetto matematico minimo: una stringa come mappa (worldsheet)

$${𝑋}^{𝜇}(𝜎,𝜏):\mathrm{\Sigma }\to \mathcal{𝑀}$$

dove $\mathrm{\Sigma }$ è una superficie 2D parametrizzata da $(𝜎,𝜏)$ e $\mathcal{𝑀}$ è lo spaziotempo (o la sua continuazione euclidea).

Azione standard (Polyakov, forma essenziale):

$$𝑆=\frac{𝑇}{2}\int {𝑑}^2𝜉\sqrt{-ℎ}{ℎ}^{𝑎𝑏}{\mathrm{\partial }}_{𝑎}{𝑋}^{𝜇}{\mathrm{\partial }}_{𝑏}{𝑋}^{𝜈}{𝑔}_{𝜇𝜈}(𝑋)$$

Con questa base puoi “tradurre” la superstringa di Plescia in un oggetto calcolabile (equazioni del moto, vincoli, ecc.).

Fig. 2 — Chiasma ipospaziale della super-stringa cosmica

Plescia: “non impossibile il chiasma ipospaziale… getti quantici… se simmetrici… se asimmetrici…” (Fig. 2).

2A) Formalizzazione topologica (incollaggio “a incrocio”)

Modello minimo: due “tubi” (cilindri) incollati in modo incrociato:

$${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1],{𝐶}_2={𝑆}^1\times [0,1]$$$$(𝜃,1{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,0{)}_{{𝐶}_2},(𝜃,0{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,1{)}_{{𝐶}_2}$$

Questo cattura l’idea di passaggio/“incrocio” (chiasma) senza imporre subito una metrica.

2B) “Simmetrico vs asimmetrico” come biforcazione (controllo)

Per rendere numerica l’opposizione simmetria/asimmetria (implosivo vs “fissione” esplosivo), usa un potenziale con parametro di asimmetria $𝑏$:

$$𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$

• $𝑏=0$: caso “simmetrico”

• $𝑏\mathrm{\ne }0$: rottura di simmetria (“spin asimmetrici” nel lessico di Plescia)

Fig. 3 — Curvature graviquantiche, singolarità ipospaziali, scala di Planck

Plescia parla di curvature che “si inabissano” e richiama scale prossime a Planck (Fig. 3).

Matematizzazione GR standard (minima):

• Curvatura: tensore di Riemann ${𝑅}^{𝜌}{}_{𝜎𝜇𝜈}$, scalare $𝑅$

• Equazioni di Einstein:

$${𝐺}_{𝜇𝜈}+\mathrm{\Lambda }{𝑔}_{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}_{𝜇𝜈}$$

• Scala di Planck (per “micro-regione”):

$${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}$$

Queste sono le equazioni “madri” per parlare di curvature che collassano verso una regione/singolarità.

Fig. 4 — Numeri immaginari e tempo immaginario (Wick rotation + metrica euclidea)

Plescia: “numeri immaginari… tempo immaginario” (Fig. 4).

Equazione cardine: rotazione di Wick

$$𝑡\mapsto -𝑖𝜏$$

Per un buco nero di Schwarzschild, la metrica lorentziana diventa euclidea:

$$𝑑{𝑠}^2=(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2}){𝑐}^2𝑑{𝜏}^2+{(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2})}^{-1}𝑑{𝑟}^2+{𝑟}^2𝑑{\mathrm{\Omega }}^2$$

e la regolarità in $𝜏$ impone periodicità (che porta alla temperatura di Hawking). Questo è il modo più preciso di “tradurre” il tempo immaginario.

Fig. 5 — Chiasma ipospaziale (morfogenesi virtuale di black hole e multiversi)

Plescia introduce un “chiasma ipospaziale” come morfogenesi (Fig. 5).

Modello geometrico calcolabile (collo + torsione):

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 𝑥(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢))}\\ {\displaystyle 𝑦(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢))}\\ {\displaystyle 𝑧(𝑢,𝑣)}& {\displaystyle =𝑢}\end{array}𝑢\in [-𝑈,𝑈],𝑣\in [0,2𝜋)$$

• $𝑅(𝑢)$ con minimo (collo)

• $𝜙(𝑢)$ introduce l’“incrocio” (torsione/chiasma)

Fig. 6 — Cuspide topologica (numerizzazione dell’isteresi)

Plescia è esplicito: “l’isteresi del chiasma… numerizzata attraverso la cuspide topologica” (Fig. 6).

Catastrofe cuspide (Thom)

$$𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$

Stati (equilibrî):

$$\frac{\mathrm{\partial }𝑉}{\mathrm{\partial }𝑥}={𝑥}^3+𝑎𝑥+𝑏=0$$

Frontiera di biforcazione (cuspide nel piano $(𝑎,𝑏)$):

$$27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$$

Questa terna è la formalizzazione più diretta di “isteresi” (salti/stati multipli).

Fig. 7 — Doppio chiasma: bivarietà

Plescia: Fig. 7 “sarà una bivarietà” (doppio chiasma).

Modello topologico naturale: una superficie di genere 2 (doppio “collo”), cioè:

$${\mathrm{\Sigma }}_{𝑔=2}\cong {\mathrm{\#}}^2({𝑆}^1\times {𝑆}^1)$$

Invariante utile:

$$𝜒({\mathrm{\Sigma }}_{𝑔})=2-2𝑔\Rightarrow 𝜒({\mathrm{\Sigma }}_2)=-2$$

È un modo pulito per dire “doppio chiasma” in termini di topologia.

Fig. 8 — Bivarietà che si inabissa nell’ipospazio di un toro topologico

Plescia: “si inabissa nell’ipospazio d’un toro topologico attraversando una stringa cosmica” (Fig. 8).

Toro (parametrizzazione standard):

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 𝑥(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑}\\ {\displaystyle 𝑦(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\sin 𝜑}\\ {\displaystyle 𝑧(𝜃,𝜑)}& {\displaystyle =𝑟\sin 𝜃}\end{array}𝜃,𝜑\in [0,2𝜋)$$

“Attraversamento”: una curva (stringa) $𝛾(𝑠)$ immersa nel toro:

$$𝛾:{𝑆}^1\to {𝑇}^2,𝛾(𝑠)=(𝜃(𝑠),𝜑(𝑠))$$

Fig. 9 — Singolarità virtuale del chiasma topologico + composizione frattale della trivarietà

Plescia: Fig. 9 come “chiasma topologico”; subito dopo parla di “composizione frattale della trivarietà” (Fig. 9–10).

9A) Chiasma topologico (incrocio come mappa di identificazione)

Puoi formalizzarlo come mapping torus (incrocio = diffeomorfismo $𝑓$):

$${𝑀}_{𝑓}=\frac{\mathrm{\Sigma }\times [0,1]}{(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)}$$

dove $\mathrm{\Sigma }$ è la bivarietà (Fig. 7/8) e $𝑓$ implementa l’“incrocio” (chiasma).

9B) “Composizione frattale” (definizione operativa IFS)

$$𝐾=\bigcup _{𝑖=1}^{𝑁}{𝑤}_{𝑖}(𝐾)$$

con ${𝑤}_{𝑖}$ contrazioni. Questo rende matematicamente preciso il “pattern frattale” di disposizioni di black hole nella trivarietà.

Fig. 10 — Modello topologico della trivarietà (cronotopia virtuale)

Plescia: “modello topologico della trivarietà” (Fig. 10).

Modello 3D naturale (semplice e forte): toro solido

$$\mathcal{𝑇}={𝐷}^2\times {𝑆}^1$$

Oppure (più “dinamico” e vicino al chiasma): ancora un mapping torus ${𝑀}_{𝑓}$, ma con $\mathrm{\Sigma }$ scelta come superficie chiasmale.

Fig. 11 — Ipercubo (tesseratto) e black hole che “s’inabissa”

Plescia: “black hole immerso in un ipercubo… Fig. 11 Ipercubo”.

Ipercubo in ${\mathbb{𝑅}}^4$: insieme dei punti

$$𝐻=[-1,1{]}^4=\{({𝑥}_1,{𝑥}_2,{𝑥}_3,{𝑥}_4)\}$$

Vertici: $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$.

Proiezione 4D→3D (per ottenere un “disegno”):

$$𝑃:{\mathbb{𝑅}}^4\to {\mathbb{𝑅}}^3,𝑃(\mathbf{𝑥})=𝐴\mathbf{𝑥}$$

con $𝐴\in {\mathbb{𝑅}}^{3\times 4}$ (scelta progettuale).

Fig. 12-a / 12-b — Ipercubo che si metabolizza in cubo cuspidale; curvatura negativa; armonia BH–superstringa

Plescia: “l’ipercubo si metabolizzerà in cubo cuspidale… Fig. 12-a… curvatura negativa… Fig. 12-b… proporzione numerica tra black hole e superstringa”.

12A) “Metabolizzazione” come deformazione controllata

Una famiglia di mappe (morfogenesi):

$${𝐹}_{𝜆}:{\mathbb{𝑅}}^3\to {\mathbb{𝑅}}^3,𝜆\in [0,1]$$

• $𝜆=0$: cubo “regolare” (proiezione del tesseratto)

• $𝜆=1$: “cubo cuspidale” (introduzione di cuspide/singolarità)

12B) Curvatura negativa (modello minimo: spazio iperbolico)

Per “curvatura negativa” un modello standard è ${\mathbb{𝐻}}^3$ con metrica (modello semispazio):

$$𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2}(𝑧>0)$$

È un modo rigoroso per associare “increspatura/negatività” a una geometria precisa.

12C) “Proporzione numerica” BH–stringa (quantità canoniche BH)

La “proporzione” più standard in BH physics è area/entropia:

$${𝑆}_{𝐵𝐻}=\frac{{𝑘}_{𝐵}{𝑐}^3}{4𝐺\mathrm{\hslash }}𝐴,𝐴=4𝜋{𝑟}_{𝑠}^2,{𝑟}_{𝑠}=\frac{2𝐺𝑀}{{𝑐}^2}$$

Queste grandezze sono naturali se vuoi rendere “numerica” la relazione tra oggetto BH e “ipospazi”/stringhe.

Fig. 13 a–b — Eventi singolari “nel vuoto” della stringa chiasmale; topologia iperbolica; singolarità statiche

Plescia: “trivarietà attraversata… da eventi singolari generati da black hole virtuali” e “nella topologia iperbolica…” (Fig. 13).

Formalizzazione minimale di “eventi singolari”:

• come distribuzione (delta) su una varietà $𝑀$:

$$𝜌(𝑥)=\sum _{𝑘}{𝑚}_{𝑘}𝛿(𝑥-{𝑥}_{𝑘})$$

• oppure come processo di punti (Poisson) su $𝑀$ se vuoi modellare “indeterminati e strani”:

$$𝑁(\mathrm{\Omega })\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝜆\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega }))$$

con $\mathrm{\Omega }\subset 𝑀$.

L’AI oggi aiuta a esplorare percorsi matematici complessi e verificare correttezze (anche in forma formale) in sinergia con l’umano.

Qui la sinergia è: Plescia fornisce la morfologia/topologia, noi la trasformiamo in modelli (azioni, metriche, varietà, catastrofi, deformazioni) che poi possono essere testati, simulati, o formalmente studiati.

Se vuoi, nel prossimo passo posso fare una cosa molto utile per il tuo lavoro editoriale/accademico:

1. Tabella “Figura → Oggetto matematico → Equazioni chiave → Interpretazione”

2. Un mini-apparato “glossario matematico” (chiasma, cuspide, bivarietà, trivarietà, mapping torus, ipercubo, curvatura negativa).

Tabella “Figura → Oggetto matematico → Equazioni chiave → Interpretazione” e (2) Un mini-apparato “glossario matematico”coerente con il testo di Plescia.

(chiasma, cuspide, bivarietà, trivarietà, mapping torus, ipercubo, curvatura negativa).

Tabella figure principali

Figura	Oggetto matematico (modellizzazione)	Equazioni chiave (minime)	Interpretazione nel lessico di Plescia
Fig. 1	Stringa / worldsheet come mappa ${𝑋}^{𝜇}(𝜎,𝜏)$ in uno spaziotempo (o sua continuazione euclidea)	Azione (forma essenziale): ${\displaystyle 𝑆=\frac{𝑇}{2}\int {𝑑}^2𝜉\sqrt{-ℎ}{ℎ}^{𝑎𝑏}{\mathrm{\partial }}_{𝑎}{𝑋}^{𝜇}{\mathrm{\partial }}_{𝑏}{𝑋}^{𝜈}{𝑔}_{𝜇𝜈}(𝑋)}$	“Superstringa cosmica spaziale” come oggetto geometrico-dinamico capace di attraversare l’orizzonte/regioni estreme: la formalizzazione standard è una superficie 2D immersa in una varietà 4D.
Fig. 2	Chiasma come incollaggio incrociato di tubi (cobordismo elementare) oppure superficie “a collo” con torsione	Incollaggio: ${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1]$, ${𝐶}_2={𝑆}^1\times [0,1]$ con $(𝜃,1{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,0{)}_{{𝐶}_2}$, $(𝜃,0{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,1{)}_{{𝐶}_2}$. Superficie parametrica: $𝑥=𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑦=𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑧=𝑢$	“Chiasma ipospaziale”: nodo/incrocio come struttura di passaggio (implosivo/esplosivo), che Plescia collega a simmetria/asimmetria (spin, getti quantici).
Fig. 3	Curvatura GR + scala di Planck (regime di micro-curvatura / singolarità)	Einstein: ${𝐺}_{𝜇𝜈}+\mathrm{\Lambda }{𝑔}_{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}_{𝜇𝜈}$. Planck: ${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}$	“Curvature graviquantiche” e “inabissamento” verso regioni limite: traduzione operativa = curvature GR + soglia di scala ${\mathrm{\ell }}_{𝑃}$ come riferimento di regime.
Fig. 4	Tempo immaginario (Wick rotation) e metrica euclidea	Wick: $𝑡\mapsto -𝑖𝜏$. Esempio (Schwarzschild euclideo): $𝑑{𝑠}^2=(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2}){𝑐}^2𝑑{𝜏}^2+(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2}{)}^{-1}𝑑{𝑟}^2+{𝑟}^2𝑑{\mathrm{\Omega }}^2$	“Numeri immaginari” e “tempo immaginario” come passaggio a una geometria euclidea che consente trattamenti topologici/cronotopici (evitare singolarità tramite periodicità euclidea, ecc.).
Fig. 5	Chiasma come morfogenesi (collo + torsione), modello geometrico calcolabile	Stesse eq. parametriche del chiasma: $𝑥=𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑦=𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑧=𝑢$ con $𝑅$ a collo e $𝜙$ torsione	“Morfogenesi virtuale”: il chiasma come dispositivo topologico che “genera” passaggi/connessioni (black hole virtuali, multiversi) in una cronotopia.
Fig. 6	Catastrofe cuspide (Thom) per “numerizzare” l’isteresi	Potenziale: $𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$. Equilibri: ${𝑥}^3+𝑎𝑥+𝑏=0$. Cuspide: $27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$	Plescia lo dice esplicitamente: “isteresi del chiasma” → “cuspide topologica”. Qui hai il modello matematico standard di multistabilità/salti isteretici.
Fig. 7	Bivarietà come superficie chiasmale “doppia” (modello topologico: genere 2)	Superficie: ${\mathrm{\Sigma }}_{𝑔=2}\cong {\mathrm{\#}}^2({𝑆}^1\times {𝑆}^1)$. Caratteristica di Eulero: $𝜒({\mathrm{\Sigma }}_{𝑔})=2-2𝑔\Rightarrow 𝜒({\mathrm{\Sigma }}_2)=-2$	“Doppio chiasma = bivarietà”: traduzione pulita in topologia delle superfici (genere 2).
Fig. 8	Immersione in toro (bivarietà che si inabissa nel toro)	Toro: $𝑥=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑,𝑦=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\sin 𝜑,𝑧=𝑟\sin 𝜃$. Curva (stringa) sul toro: $𝛾(𝑠)=(𝜃(𝑠),𝜑(𝑠))$	“Bivarietà che si inabissa nell’ipospazio d’un toro”: modellabile come immersione/attraversamento su/entro una varietà toroidale.
Fig. 9	Chiasma topologico + trivarietà con “composizione frattale”	Mapping torus: ${𝑀}_{𝑓}=(\mathrm{\Sigma }\times [0,1])\mathrm{/}(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)$. IFS frattale: $𝐾={\bigcup }_{𝑖=1}^{𝑁}{𝑤}_{𝑖}(𝐾)$	“Singolarità virtuale del chiasma” e “composizione frattale della trivarietà”: formalizzabile con 3-manifold tipo mapping-torus + autosimilarità (IFS).
Fig. 10	Trivarietà come 3-manifold (modello minimo: toro solido o mapping-torus)	Toro solido: $\mathcal{𝑇}={𝐷}^2\times {𝑆}^1$. Oppure: ancora ${𝑀}_{𝑓}$ (mapping torus)	“Modello topologico della trivarietà (cronotopia virtuale)”: una geometria 3D che ospita connessioni/attraversamenti e distribuzioni di eventi/singolarità.
Fig. 11	Ipercubo (tesseratto) in ${\mathbb{𝑅}}^4$ e proiezione 4D→3D	Ipercubo: $𝐻=[-1,1{]}^4$. Proiezione lineare: $𝑃(\mathbf{𝑥})=𝐴\mathbf{𝑥},𝐴\in {\mathbb{𝑅}}^{3\times 4}$	“Black hole immerso in un ipercubo”: formalizzazione = oggetto 4D + proiezione/interpretazione 3D per visualizzazione e morfogenesi.
Fig. 12a–b	Deformazione controllata (ipercubo/cubo → “cubo cuspidale”) + curvatura negativa (modello iperbolico) + quantità BH	Morfogenesi: ${𝐹}_{𝜆}:{\mathbb{𝑅}}^3\to {\mathbb{𝑅}}^3,𝜆\in [0,1]$. Iperbolico: $𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2}$ (semispazio). Entropia BH: ${𝑆}_{𝐵𝐻}=\frac{{𝑘}_{𝐵}{𝑐}^3}{4𝐺\mathrm{\hslash }}𝐴$	“Metabolizzazione” dell’ipercubo in forma cuspidale e “curvatura negativa”: resa operativa via deformazioni + geometria iperbolica; “armonia/proporzione numerica” agganciabile a invarianti BH (area/entropia).
Fig. 13a–b	Eventi singolari come punti/distribuzioni su una varietà (anche in spazio iperbolico)	Delta-punti: $𝜌(𝑥)={\sum }_{𝑘}{𝑚}_{𝑘}𝛿(𝑥-{𝑥}_{𝑘})$. Oppure Poisson su $𝑀$: $𝑁(\mathrm{\Omega })\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝜆\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega }))$	“Eventi singolari generati da black hole virtuali” nella trivarietà e “topologia iperbolica”: modellabili come insieme di punti (deterministico o stocastico) su un 3-manifold (anche iperbolico).

Mini-glossario matematico (apparato essenziale)

Chiasma (topologico / geometrico)
Struttura di “incrocio” o “collo” che connette due regioni/spazi (o due rami di una stessa varietà). In matematica lo puoi rendere come incollaggio (quotiente topologico), come cobordismo elementare, oppure come superficie parametrica con collo e torsione.

Cuspide (catastrofe cuspide)
Superficie/insieme di biforcazione che descrive isteresi e multistabilità in un sistema dipendente da parametri. Modello canonico:

$$𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥,{𝑥}^3+𝑎𝑥+𝑏=0,27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0.$$

Bivarietà (2-varietà)
Varietà di dimensione 2 (superficie). Esempi: sfera ${𝑆}^2$, toro ${𝑇}^2$, superfici di genere $𝑔$. In Plescia la bivarietà è spesso “chiasmale” (doppio chiasma) e può essere descritta con il genere e la caratteristica di Eulero $𝜒=2-2𝑔$.

Trivarietà (3-varietà)
Varietà di dimensione 3 (3-manifold), adatta a rappresentare una “cronotopia” o un “ambiente” in cui si dispongono connessioni, attraversamenti e “eventi singolari”. Modelli minimali: toro solido ${𝐷}^2\times {𝑆}^1$ o mapping-torus.

Mapping torus
Costruzione che produce una 3-varietà incollando gli estremi di $\mathrm{\Sigma }\times [0,1]$ tramite un diffeomorfismo $𝑓$:

$${𝑀}_{𝑓}=\frac{\mathrm{\Sigma }\times [0,1]}{(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)}\mathrm{.}$$

È un modo rigoroso per rappresentare “torsioni/incroci” periodici: molto adatto a chiasmi dinamici.

Ipercubo (tesseratto)
Generalizzazione 4D del cubo:

$$𝐻=[-1,1{]}^4\subset {\mathbb{𝑅}}^4\mathrm{.}$$

Per visualizzarlo in 3D si usa una proiezione lineare $𝑃(\mathbf{𝑥})=𝐴\mathbf{𝑥}$. In Plescia diventa “matrice” per morfogenesi verso un “cubo cuspidale”.

Curvatura negativa (geometria iperbolica)
Spazi in cui la curvatura sezionale è < 0. Modello standard: spazio iperbolico ${\mathbb{𝐻}}^3$. Un’espressione concreta è la metrica del semispazio:

$$𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2},𝑧>0.$$

È la formalizzazione più pulita di un “ipospazio” a curvatura negativa.

Apparato di didascalie accademiche (Figure captions) in stile pubblicazione scientifica, coerente con il testo di G. Plescia (1995) e con una formalizzazione matematica rigorosa ma compatta.

Struttura uniforme per ciascuna figura:

(i) Oggetto matematico
(ii) Equazioni chiave
(iii) Implicazione fisico-topologica
(iv) Parole-chiave

APPARATO “FIGURE CAPTIONS” 

Fig. 1 — Superstringa cosmica spaziale

(i) Oggetto matematico
Superficie bidimensionale (worldsheet) immersa in uno spaziotempo quadridimensionale.

(ii) Equazioni chiave

$${𝑋}^{𝜇}(𝜎,𝜏):\mathrm{\Sigma }\to \mathcal{𝑀}$$$$𝑆=\frac{𝑇}{2}\int {𝑑}^2𝜉\sqrt{-ℎ}{ℎ}^{𝑎𝑏}{\mathrm{\partial }}_{𝑎}{𝑋}^{𝜇}{\mathrm{\partial }}_{𝑏}{𝑋}^{𝜈}{𝑔}_{𝜇𝜈}$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
La stringa costituisce un oggetto dinamico capace di attraversare regioni di curvatura estrema, fungendo da “connessione” tra domini topologici distinti.

(iv) Parole-chiave
String theory, worldsheet, immersione, orizzonte degli eventi.

Fig. 2 — Chiasma ipospaziale

(i) Oggetto matematico
Struttura di incollaggio topologico (cobordismo elementare) tra due tubi.

(ii) Equazioni chiave

$${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1],{𝐶}_2={𝑆}^1\times [0,1]$$$$(𝜃,1{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,0{)}_{{𝐶}_2}$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Il chiasma rappresenta una regione di transizione tra stati dinamici, associabile a biforcazioni tra implosione ed esplosione.

(iv) Parole-chiave
Chiasma, cobordismo, simmetria, biforcazione.

Fig. 3 — Curvature graviquantiche

(i) Oggetto matematico
Spaziotempo curvo descritto dalla relatività generale.

(ii) Equazioni chiave

$${𝐺}_{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}_{𝜇𝜈}$$$${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Regime di collasso gravitazionale e formazione di singolarità nelle scale prossime alla lunghezza di Planck.

(iv) Parole-chiave
Relatività generale, curvatura, scala di Planck.

Fig. 4 — Tempo immaginario

(i) Oggetto matematico
Rotazione di Wick e metrica euclidea.

(ii) Equazioni chiave

$$𝑡\to -𝑖𝜏$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Trasformazione che rende lo spaziotempo analogo a una varietà euclidea, permettendo descrizioni topologiche del collasso.

(iv) Parole-chiave
Wick rotation, tempo immaginario, geometria euclidea.

Fig. 5 — Morfogenesi chiasmale

(i) Oggetto matematico
Superficie parametrica con collo e torsione.

(ii) Equazioni chiave

$$𝑥=𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑦=𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑧=𝑢$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Modello di connessione tra domini multipli dello spazio-tempo.

(iv) Parole-chiave
Morfogenesi, wormhole-like geometry, transizione topologica.

Fig. 6 — Cuspide topologica

(i) Oggetto matematico
Catastrofe cuspide (teoria delle catastrofi).

(ii) Equazioni chiave

$$𝑉(𝑥)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$$$27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Formalizzazione dell’isteresi e della multistabilità nelle transizioni dinamiche.

(iv) Parole-chiave
Thom, biforcazione, isteresi.

Fig. 7 — Bivarietà chiasmale

(i) Oggetto matematico
Superficie di genere 2.

(ii) Equazioni chiave

$$𝜒=2-2𝑔$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Configurazione doppia di connessioni topologiche.

(iv) Parole-chiave
Genere, superficie, topologia.

Fig. 8 — Immersione nel toro

(i) Oggetto matematico
Toro topologico.

(ii) Equazioni chiave

$$𝑥=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Spazio contenitore per traiettorie chiasmali.

(iv) Parole-chiave
Toro, immersione, varietà.

Fig. 9 — Chiasma frattale della trivarietà

(i) Oggetto matematico
Mapping torus e sistema iterato frattale.

(ii) Equazioni chiave

$${𝑀}_{𝑓}=(\mathrm{\Sigma }\times [0,1])\mathrm{/}(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Struttura autosimilare della distribuzione di black hole virtuali.

(iv) Parole-chiave
Frattale, mapping torus, autosimilarità.

Fig. 10 — Trivarietà cronotopica

(i) Oggetto matematico
Varietà tridimensionale.

(ii) Equazioni chiave

$$\mathcal{𝑇}={𝐷}^2\times {𝑆}^1$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Ambiente tridimensionale delle connessioni cosmiche.

(iv) Parole-chiave
3-manifold, cronotopia.

Fig. 11 — Ipercubo

(i) Oggetto matematico
Tesseratto in spazio quadridimensionale.

(ii) Equazioni chiave

$$𝐻=[-1,1{]}^4$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Spazio multidimensionale contenitore delle dinamiche.

(iv) Parole-chiave
Ipercubo, proiezione 4D.

Fig. 12 — Cubo cuspidale e curvatura negativa

(i) Oggetto matematico
Deformazione morfogenetica e geometria iperbolica.

(ii) Equazioni chiave

$$𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2}$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Trasformazione di simmetrie spaziali verso configurazioni di curvatura negativa.

(iv) Parole-chiave
Iperbolico, morfogenesi.

Fig. 13 — Eventi singolari nella trivarietà

(i) Oggetto matematico
Distribuzione discreta di punti singolari.

(ii) Equazioni chiave

$$𝜌(𝑥)=\sum _{𝑘}𝛿(𝑥-{𝑥}_{𝑘})$$

(iii) Implicazione fisico-topologica
Modello di emergenza di black hole virtuali.

(iv) Parole-chiave
Singolarità, distribuzioni, topologia iperbolica.

Formato articolo accademico: ✔ formattazione stile rivista scientifica ✔ numerazione automatica ✔ citazioni bibliografiche integrate ✔ versione bilingue ITA/ENG

FORMALIZATION OF TOPOLOGICAL MODELS IN

GIACINTO PLESCIA (1995):
IMAGINARY TIME, BLACK HOLES AND CHIASMAL GEOMETRIES

Formalizzazione dei modelli topologici in

Giacinto Plescia (1995):
Tempo immaginario, buchi neri e geometrie chiasmali

Abstract

EN
This study provides a mathematical formalization of the topological and morphogenetic models proposed by Giacinto Plescia (1995) in his work on imaginary time and black holes. The analysis translates conceptual structures — chiasma, cuspides, bivariétés, trivariétés, hypercubes — into explicit mathematical frameworks derived from differential geometry, topology, catastrophe theory, and relativistic physics.

IT
Questo studio propone una formalizzazione matematica dei modelli topologici e morfogenetici elaborati da Giacinto Plescia (1995) nel testo sul tempo immaginario e i buchi neri, traducendo le strutture concettuali — chiasma, cuspidi, bivarietà, trivarietà, ipercubi — in modelli espliciti derivati dalla geometria differenziale, topologia, teoria delle catastrofi e fisica relativistica.

Keywords

Imaginary time — Topological morphogenesis — Catastrophe theory — Black hole topology — Hyperbolic geometry
Tempo immaginario — Morfogenesi topologica — Teoria delle catastrofi — Topologia dei buchi neri — Geometria iperbolica

FIGURE CAPTIONS 

Figure 1 — Cosmic superstring worldsheet

Figura 1 — Superstringa cosmica

Mathematical object / Oggetto matematico
A 2-dimensional worldsheet embedded in spacetime.

Key equations / Equazioni chiave

$${𝑋}^{𝜇}(𝜎,𝜏):\mathrm{\Sigma }\to \mathcal{𝑀}$$$$𝑆=\frac{𝑇}{2}\int {𝑑}^2𝜉\sqrt{-ℎ}{ℎ}^{𝑎𝑏}{\mathrm{\partial }}_{𝑎}{𝑋}^{𝜇}{\mathrm{\partial }}_{𝑏}{𝑋}^{𝜈}{𝑔}_{𝜇𝜈}$$

Physical-topological meaning / Significato fisico-topologico
The string acts as a dynamic connector across high-curvature regions and event horizons.

Keywords
String theory — worldsheet — immersion — horizon crossing.

Figure 2 — Hyperspatial chiasma

Figura 2 — Chiasma ipospaziale

Mathematical object
Topological cobordism via crossed identifications.

$${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1],(𝜃,1)\sim (𝜃,0)$$

Interpretation
Represents transition regions between implosive and explosive dynamical regimes.

Keywords
Chiasma — topology — bifurcation.

Figure 3 — Gravito-quantum curvature

Figura 3 — Curvature graviquantiche

$${𝐺}_{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}_{𝜇𝜈}$$$${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}$$

Meaning
Gravitational collapse regimes approaching Planck scale.

Keywords
General relativity — singularities.

Figure 4 — Imaginary time transformation

Figura 4 — Tempo immaginario

$$𝑡\to -𝑖𝜏$$

Meaning
Transforms Lorentzian spacetime into Euclidean topology enabling singularity smoothing.

Keywords
Wick rotation — Euclidean spacetime.

Figure 5 — Chiasmal morphogenesis

Figura 5 — Morfogenesi chiasmale

Parametric surface:

$$𝑥=𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢))$$

Represents topological connection structures analogous to wormholes.

Figure 6 — Topological cusp catastrophe

Figura 6 — Cuspide topologica

$$𝑉(𝑥)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$$$27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$$

Meaning
Models hysteresis and state transitions in dynamic systems.

Keywords
Thom catastrophe — bifurcation.

Figure 7 — Chiasmal bivariété

Figura 7 — Bivarietà chiasmale

$$𝜒=2-2𝑔$$

Double-genus surface modeling dual chiasma connectivity.

Figure 8 — Toroidal immersion

Figura 8 — Immersione toroidale

$$𝑥=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑$$

Represents containment geometry for chiasmal trajectories.

Figure 9 — Fractal chiasma of trivariété

Figura 9 — Chiasma frattale della trivarietà

$${𝑀}_{𝑓}=(\mathrm{\Sigma }\times [0,1])\mathrm{/}(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)$$

Represents recursive topological distribution of virtual black holes.

Figure 10 — Trivariété chronotope

Figura 10 — Trivarietà cronotopica

$$\mathcal{𝑇}={𝐷}^2\times {𝑆}^1$$

3-dimensional topological environment of cosmic connectivity.

Figure 11 — Hypercube embedding

Figura 11 — Ipercubo

$$𝐻=[-1,1{]}^4$$

Represents multidimensional containment space.

Figure 12 — Cuspidal cube and hyperbolic curvature

Figura 12 — Cubo cuspidale e curvatura negativa

$$𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2}$$

Models morphogenetic deformation toward negative curvature spaces.

Figure 13 — Singular events in trivariété

Figura 13 — Eventi singolari

$$𝜌(𝑥)=\sum _{𝑘}𝛿(𝑥-{𝑥}_{𝑘})$$

Represents emergent virtual black hole events.

REFERENCES / BIBLIOGRAFIA

Plescia, G. (1995). Hawking, tempo immaginario e buchi neri.
Hawking, S. (1988). A Brief History of Time.
Thom, R. (1972). Structural Stability and Morphogenesis.
Misner, Thorne & Wheeler (1973). Gravitation.

Le figure sono quelle del PDF di Plescia; le equazioni sono una formalizzazione proposta a partire dal suo impianto topologico-morfogenetico.

ARTICOLO 

Titolo

IT — Formalizzazione matematica dei modelli topologico-morfogenetici in Giacinto Plescia (1995): tempo immaginario, chiasma e buchi neri
EN — Mathematical formalization of topological–morphogenetic models in Giacinto Plescia (1995): imaginary time, chiasma, and black holes

Autore

[Giacinto Plescia]
[Ricercatore indipendente]
[Revisione: Camilla Iannacci]

[camillaiannacci@gmail.com]
[ORCID]

Abstract

IT
Questo articolo propone una formalizzazione matematica dei modelli topologici e morfogenetici presentati da Giacinto Plescia (1995) nel testo Hawking, tempo immaginario e buchi neri. L’analisi traduce strutture concettuali — chiasma, cuspide topologica, bivarietà/trivarietà, toro, ipercubo e “cubo cuspidale” — in un insieme coerente di modelli espliciti derivati da (i) geometria differenziale e topologia delle varietà, (ii) teoria delle catastrofi e biforcazioni, (iii) fisica relativistica e continuazione euclidea (Wick rotation). Il risultato è un apparato “operativo” utilizzabile per didascalie accademiche delle figure, per schematizzazioni formali e per successive estensioni (simulazioni, invarianti topologici, confronti con modelli di gravità quantistica).

EN
This paper provides a mathematical formalization of the topological and morphogenetic models proposed by Giacinto Plescia (1995) in Hawking, imaginary time and black holes. Conceptual structures — chiasma, topological cusp, bivariété/trivariété, torus, hypercube, and the “cuspidal cube” — are translated into explicit frameworks based on (i) differential geometry and manifold topology, (ii) catastrophe theory and bifurcation models, and (iii) relativistic physics with Euclidean continuation (Wick rotation). The outcome is an operational apparatus suitable for academic figure captions and for further developments (simulations, topological invariants, links to quantum-gravity inspired scenarios).

Parole chiave / Keywords

IT — tempo immaginario; rotazione di Wick; teoria delle catastrofi; cuspide; chiasma; bivarietà; trivarietà; toro; ipercubo; geometria iperbolica; buchi neri.
EN — imaginary time; Wick rotation; catastrophe theory; cusp; chiasma; bivariété; trivariété; torus; hypercube; hyperbolic geometry; black holes.

1. Introduzione

IT
Nel testo del 1995 Plescia costruisce una sequenza di modelli figurali (stringa cosmica, chiasma, cuspide, toro, trivarietà, ipercubo) per articolare una “cronotopia” del buco nero e del tempo immaginario, in un linguaggio che intreccia fisica, topologia e morfogenesi. Il documento, tuttavia, non presenta un sistema di equazioni chiuso: propone piuttosto forme topologiche da “numerizzare”.

Scopo di questo lavoro è produrre una formalizzazione minima ma rigorosa, in cui ogni figura venga associata a (i) un oggetto matematico riconoscibile, (ii) un nucleo di equazioni standard o canoniche, (iii) un’interpretazione fisico-topologica coerente, (iv) parole-chiave utili per indicizzazione e comparazione.

EN
Plescia’s 1995 text develops a sequence of figurative models (cosmic string, chiasma, cusp, torus, trivariété, hypercube) to articulate a “chronotope” of black holes and imaginary time through a hybrid language mixing physics, topology, and morphogenesis. Yet, the document does not supply a closed set of equations: it rather suggests topological forms to be “numerized”.

The aim here is to produce a minimal but rigorous formalization: each figure is mapped to (i) a recognized mathematical object, (ii) a canonical set of equations, (iii) a coherent physical–topological implication, and (iv) indexing keywords.

2. Metodo: dalla figura all’oggetto matematico

IT
Il metodo segue quattro passaggi:
(1) Identificazione dell’oggetto (superficie, varietà, incollaggio, deformazione);
(2) Scelta di un modello canonico (parametrizzazione, azione, metrica, potenziale);
(3) Collegamento fisico (tempo immaginario, curvatura, singolarità, isteresi);
(4) Compattazione in didascalia accademica.

EN
The method follows four steps:
(1) object identification (surface, manifold, gluing, deformation);
(2) selection of a canonical model (parametrization, action, metric, potential);
(3) physical linkage (imaginary time, curvature, singularity, hysteresis);
(4) compression into academic figure captions.

3. Apparato di figure: didascalie accademiche (ITA/ENG)

Figura 1 / Figure 1 — Superstringa cosmica (worldsheet)

(i) Oggetto / Object: worldsheet 2D immerso in uno spaziotempo (o sua continuazione euclidea).
(ii) Equazioni / Equations:

$${𝑋}^{𝜇}(𝜎,𝜏):\mathrm{\Sigma }\to \mathcal{𝑀}$$$$𝑆=\frac{𝑇}{2}\int {𝑑}^2𝜉\sqrt{-ℎ}{ℎ}^{𝑎𝑏}{\mathrm{\partial }}_{𝑎}{𝑋}^{𝜇}{\mathrm{\partial }}_{𝑏}{𝑋}^{𝜈}{𝑔}_{𝜇𝜈}(𝑋)$$

(iii) Implicazione / Implication: la stringa opera come connettore dinamico attraverso regioni di curvatura elevata, concettualmente associabile ad attraversamenti dell’orizzonte degli eventi.

GIACINTO PLESCIA 1995 Hawking_t…

(iv) Keywords: string theory; worldsheet; immersion; horizon.

Figura 2 / Figure 2 — Chiasma ipospaziale

(i) incollaggio incrociato di tubi (cobordismo elementare) / crossed gluing of tubes.
(ii)

$${𝐶}_1={𝑆}^1\times [0,1],{𝐶}_2={𝑆}^1\times [0,1]$$$$(𝜃,1{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,0{)}_{{𝐶}_2},(𝜃,0{)}_{{𝐶}_1}\sim (𝜃,1{)}_{{𝐶}_2}$$

(iii) dispositivo di transizione (implosivo/esplosivo) interpretabile come regione di connessione in cui la simmetria/asimmetria guida l’esito dinamico.

(iv) chiasma; cobordism; symmetry breaking; transition.

Figura 3 / Figure 3 — Curvature graviquantiche e scala di Planck

(i) spaziotempo curvo (GR) con riferimento a regime di scala Planck / curved spacetime with Planck-scale regime.
(ii)

$${𝐺}_{𝜇𝜈}+\mathrm{\Lambda }{𝑔}_{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}_{𝜇𝜈}$$$${\mathrm{\ell }}_{𝑃}=\sqrt{\frac{\mathrm{\hslash }𝐺}{{𝑐}^3}}$$

(iii) formalizza l’“inabissamento” in micro-regioni di curvatura elevata; la scala ${\mathrm{\ell }}_{𝑃}$ introduce un limite operativo per la descrizione classica.

(iv) general relativity; curvature; Planck scale; singularity.

Figura 4 / Figure 4 — Tempo immaginario (rotazione di Wick)

(i) continuazione euclidea della coordinata temporale / Euclidean continuation of time.
(ii)

$$𝑡\mapsto -𝑖𝜏$$

(forma euclidea di Schwarzschild come esempio):

$$𝑑{𝑠}^2=(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2}){𝑐}^2𝑑{𝜏}^2+{(1-\frac{2𝐺𝑀}{𝑟{𝑐}^2})}^{-1}𝑑{𝑟}^2+{𝑟}^2𝑑{\mathrm{\Omega }}^2$$

(iii) permette di trattare certe strutture come problemi topologici su varietà euclidee (periodicità in $𝜏$, regolarità, ecc.), coerente con l’uso concettuale di “tempo immaginario”.

(iv) Wick rotation; imaginary time; Euclidean metric; black holes.

Figura 5 / Figure 5 — Morfogenesi chiasmale

(i) superficie parametrica “a collo” con torsione / necked surface with twist.
(ii)

$$𝑥(𝑢,𝑣)=𝑅(𝑢)\cos (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑦(𝑢,𝑣)=𝑅(𝑢)\sin (𝑣+𝜙(𝑢)),𝑧(𝑢,𝑣)=𝑢$$

(iii) modello geometrico calcolabile per “passaggi” e connessioni tra domini; la torsione $𝜙(𝑢)$ codifica l’incrocio del chiasma.

(iv) morphogenesis; chiasma; neck geometry; twisted immersion.

Figura 6 / Figure 6 — Cuspide topologica (isteresi numerizzata)

(i) catastrofe cuspide / cusp catastrophe.
(ii)

$$𝑉(𝑥;𝑎,𝑏)=\frac{{𝑥}^4}{4}+\frac{𝑎}{2}{𝑥}^2+𝑏𝑥$$$$\frac{\mathrm{\partial }𝑉}{\mathrm{\partial }𝑥}={𝑥}^3+𝑎𝑥+𝑏=0$$$$27{𝑏}^2+4{𝑎}^3=0$$

(iii) formalizza rigorosamente l’isteresi (salti, multistabilità) invocata da Plescia come “numerizzazione” del chiasma.

(iv) Thom; catastrophe theory; cusp; hysteresis; bifurcation.

Figura 7 / Figure 7 — Bivarietà chiasmale (doppio chiasma)

(i) superficie di genere $𝑔=2$ / genus-2 surface.
(ii)

$${\mathrm{\Sigma }}_{𝑔=2}\cong {\mathrm{\#}}^2({𝑆}^1\times {𝑆}^1),𝜒({\mathrm{\Sigma }}_{𝑔})=2-2𝑔\Rightarrow 𝜒({\mathrm{\Sigma }}_2)=-2$$

(iii) rende “topologicamente numerabile” il doppio chiasma come superficie con invarianti (genere, caratteristica di Eulero).

(iv) bivariété; genus; Euler characteristic; surface topology.

Figura 8 / Figure 8 — Inabissamento nel toro topologico

(i) toro e immersione di traiettorie / torus and immersed trajectories.
(ii)

$$𝑥=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\cos 𝜑,𝑦=(𝑅+𝑟\cos 𝜃)\sin 𝜑,𝑧=𝑟\sin 𝜃$$$$𝛾(𝑠)=(𝜃(𝑠),𝜑(𝑠))$$

(iii) il toro agisce come “contenitore” topologico per traiettorie chiasmali o attraversamenti, coerentemente con l’idea di ipospazio toroidale.

(iv) torus; immersion; trajectories; embedding.

Figura 9 / Figure 9 — Chiasma topologico e composizione frattale della trivarietà

(i) mapping torus + autosimilarità / mapping torus + self-similarity.
(ii)

$${𝑀}_{𝑓}=\frac{\mathrm{\Sigma }\times [0,1]}{(𝑥,1)\sim (𝑓(𝑥),0)}$$$$𝐾=\bigcup _{𝑖=1}^{𝑁}{𝑤}_{𝑖}(𝐾)$$

(iii) struttura 3D ottenuta da incollaggi dinamici (twist) e possibile descrizione di distribuzioni “frattali” di eventi/singolarità nel volume trivarietale.

(iv) mapping torus; 3-manifold; IFS; fractal distribution; virtual singularities.

Figura 10 / Figure 10 — Trivarietà cronotopica

(i) 3-varietà / 3-manifold (modello minimale: toro solido).
(ii)

$$\mathcal{𝑇}={𝐷}^2\times {𝑆}^1$$

(iii) ambiente tridimensionale per la “cronotopia virtuale”, in cui collocare connessioni, attraversamenti e punti-evento.

(iv) trivariété; 3-manifold; solid torus; chronotope.

Figura 11 / Figure 11 — Ipercubo (tesseratto)

(i) ipercubo in ${\mathbb{𝑅}}^4$ / hypercube in ${\mathbb{𝑅}}^4$.
(ii)

$$𝐻=[-1,1{]}^4𝑃(\mathbf{𝑥})=𝐴\mathbf{𝑥},𝐴\in {\mathbb{𝑅}}^{3\times 4}$$

(iii) formalizza la “matrice” multidimensionale di contenimento/dispiegamento; la proiezione 4D→3D consente la resa figurale dell’ipercubo nel piano editoriale.

(iv) hypercube; tesseract; projection; 4D geometry.

Figura 12 / Figure 12 — Cubo cuspidale, curvatura negativa, armonia numerica

(i) deformazione morfogenetica + geometria iperbolica / morphogenetic deformation + hyperbolic geometry.
(ii)

$${𝐹}_{𝜆}:{\mathbb{𝑅}}^3\to {\mathbb{𝑅}}^3,𝜆\in [0,1]$$$$𝑑{𝑠}^2=\frac{𝑑{𝑥}^2+𝑑{𝑦}^2+𝑑{𝑧}^2}{{𝑧}^2}(𝑧>0)$$

(invariante BH utile per “proporzione numerica”):

$${𝑆}_{𝐵𝐻}=\frac{{𝑘}_{𝐵}{𝑐}^3}{4𝐺\mathrm{\hslash }}𝐴$$

(iii) il passaggio ipercubo→cubo cuspidale è trattato come famiglia di deformazioni; la “curvatura negativa” è resa operativa con un modello iperbolico; la proporzione numerica può essere ancorata a invarianti BH (area/entropia).

(iv) morphogenesis; hyperbolic geometry; negative curvature; black-hole invariants.

Figura 13 / Figure 13 — Eventi singolari nella trivarietà

(i) punti-evento come distribuzioni su varietà / point-events as distributions on manifolds.
(ii)

$$𝜌(𝑥)=\sum _{𝑘}{𝑚}_{𝑘}𝛿(𝑥-{𝑥}_{𝑘})$$

(opzionale, versione stocastica):

$$𝑁(\mathrm{\Omega })\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}(𝜆\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega }))$$

(iii) formalizza l’emergere di “eventi singolari” (black hole virtuali) come punti discreti collocati nel volume trivarietale, anche in geometrie a curvatura negativa.

(iv) singular events; delta distributions; point processes; hyperbolic topology.

4. Discussione

IT
La formalizzazione proposta stabilisce una corrispondenza tra (a) strutture figurali di Plescia e (b) oggetti matematici canonici. Il cuore quantitativo è la cuspide (Fig. 6), che traduce in modo standard l’isteresi evocata nel testo; il cuore geometrico è la continuazione euclidea (Fig. 4), che rende compatibile l’uso del “tempo immaginario” con modelli topologici; il cuore topologico è la catena bivarietà→trivarietà→ipercubo (Fig. 7–12), che può essere vista come un dispiegamento di dimensionalità e di complessità di incollaggio.

EN
The proposed formalization links Plescia’s figurative structures to canonical mathematical objects. The quantitative core is the cusp (Fig. 6), providing a standard hysteresis model; the geometric core is Euclidean continuation (Fig. 4), aligning “imaginary time” with topological methods; the topological core is the chain bivariété→trivariété→hypercube (Figs. 7–12), interpretable as a dimensional and gluing-complexity unfolding.

5. Limiti e prospettive

IT
Poiché il testo originale non fissa parametri fisici espliciti per i modelli topologici, alcune corrispondenze (ad es. “proporzione numerica” BH–stringa) sono proposte come ancoraggi a invarianti standard (entropia/area). Sviluppi futuri includono: calcolo di invarianti (genere, gruppi fondamentali), famiglie di deformazioni ${𝐹}_{𝜆}$ con vincoli fisici, e simulazioni di distribuzioni puntuali su 3-varietà (Fig. 13).

EN
Since the source text does not fix explicit physical parameters for the topological models, some correspondences (e.g., “numerical proportion” BH–string) are proposed as anchors to standard invariants (entropy/area). Future work includes: invariants computation (genus, fundamental groups), physically constrained deformation families ${𝐹}_{𝜆}$, and simulations of point distributions on 3-manifolds (Fig. 13).

Riferimenti / References

• Plescia, G. (1995). Hawking, tempo immaginario e buchi neri (documento analizzato; figure e impianto concettuale).

  GIACINTO PLESCIA 1995 Hawking_t…

• Thom, R. (1972). Stabilité structurelle et morphogenèse / Structural Stability and Morphogenesis.

• Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation.

• Hawking, S. W. (1988). A Brief History of Time.

• Arnold, V. I. (1992). Catastrophe Theory (ed. tradizionali).